作者：顾泠沅    文章来源：本站原创    点击数：    更新时间：2007-8-31

【课例】 勾股定理能探究出来吗？ 　

　　勾股定理值得学生去探究吗？学生在其中究竟能学到什么？

　　我们尝试新的教学设计，要点是：①目标在于体现“猜想-证明”这种数学思想方法的本原性意义。②探究需要“铺垫”。铺垫也称“脚手架”，指为学生提供教学协助，帮助学生完成在现有能力下向高认知学习任务的难度攀升。

　　首先，教师提问“直角三角形三边有什么大小关系”，使学生的注意力集中于三边关系：a、b<c<a+b。教师进而提问“平方上面的式子会怎么样”，得出a2、b2<c2<a2+2ab+b2，并指出a2、b2、c2的几何意义。然后，教师做了铺垫：在方格纸内斜放一个正方形ABCD，（如图1）每个小方格的边长为单位1，怎样计算正方形ABCD的面积？借助横平竖直的方格背景，学生发现可以用割补法求得斜放正方形的面积。接着，教师呈现工作单上的小方格背景上的图形，要求学生通过计算、填数据表等小组活动来研究直角三角形三边的数量关系。

图1

	①	②	③	④	…
a2	1	4	9	16
b2	4	9	16	25
2ab	4	12	24	40
c2	5	13	25	41	图2

 
　　（注：数据是后来填入的）

　　在计算过程中，学生通过数单位小方格的办法，可以顺利计算出a2、2ab、b2，对于c2则无法求出；教师鼓励学生小组内部讨论c2的计算办法，则可以借助前面计算斜放正方形面积铺垫的方法求出。

图3

　　学生根据数据表（见图2）提出了很多猜想（如图3），尤其是2ab+1=c2，这是数学专业出身的教师从来没有学过的“定理”。它是错误的吗？可是，数据表中的每组数据的验证都表明它是正确的。那么，也许学生真的发现了一个“定理”？这是发生在教师与学生之间的一段“反驳与证明”的对话：

　　教师：王同学，你来说说看。

　　学生1：老师，我做过a=2，b=4的例子，这时2ab=16，而c2=20，所以c2≠2ab+1。

　　教师：他用具体的举例来“反驳”，很有说服力，看来c2=2ab+1这一结论不成立。

　　学生2：老师，我刚才通过例子得出，当a与b的差是1的时候，2ab+1=c2这个结论还是成立的。

　　教师：这个想法还是有道理的，看来c2=2ab+1是一个有条件的结论。好，下面我们再来看一下c2=a2+b2呢？

　　学生3：这个结论是对的，对于前面已举过的图例来说都是成立的。但是我想，如果它举例子，即使100个例子都是成立，但是如果到了101个例子，它不成立了呢？如果要知道它是一个定理，就是要知道它所有的例子都成立，才是定理，只要有1个例子不成立还是个有条件的结论。

　　教师：看来a2+b2=c2是否是个定理,光靠几个例子说明是不够的，那么我们应该怎么办呢？

　　学生（齐答）：证——明——

　　这段师生对话体现了数学学习中反驳与证明的思想方法。在数学活动中，对于一个假命题，只要举出一个反例就可以把它反驳掉；但对于一个可能为真的命题，无论多少个支持它的正例都无法使人信服，只是增加了这个命题正确的可能性。所以，对于一个可能为真的命题就必须进行一般化的证明——这反映了“为什么要证明”的必要性。这段对话，正好反映了数学学习过程中，从数据归纳出一些猜想、然后通过反驳与证明，直到得出一个定理的一个深层次的思维过程，它反映了数学学习的本质。在这样的教学过程中，除了勾股定理的知识学习目标，学生还学到了“数据表出猜想”的方法，体验到了数学中的“反驳与证明”，这对于学生未来的数学学习更有价值。（课例由顾泠沅提供）